cmath --- 关于复数的数学函数¶
本模块提供了一些适用于复数的数学函数。 本模块中的函数接受整数、浮点数或复数作为参数。 它们也接受任意具有 __complex__() 或 __float__() 方法的 Python 对象：这些方法分别用于将对象转换为复数或浮点数，然后再将函数应用于转换后的结果。
备注
对于涉及分支切割的函数，我们会有确定如何在切割本身上定义这些函数的问题。 根据 Kahan 的论文 "Branch cuts for complex elementary functions"，以及 C99 的附录 G 和之后的 C 标准，我们使用零符号来区别分支切割的一侧和另一侧：对于沿实轴（一部分）的分支切割我们要看虚部的符号，而对于沿虚轴的分支切割我们则要看实部的符号。
例如，cmath.sqrt() 函数有一个沿着负实轴的分支切割。 参数 complex(-2.0, -0.0) 会被当作位于切支切割的 下方 来处理，因而将给出一个负虚轴上的结果。
>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, -0.0))
-1.4142135623730951j
但是参数 complex(-2.0, 0.0) 则会被当作是位于支割线的上方来处理:
>>> cmath.sqrt(complex(-2.0, 0.0))
1.4142135623730951j
到极坐标和从极坐标的转换¶
使用 矩形坐标 或 笛卡尔坐标 在内部存储 Python 复数 z。 这完全取决于它的 实部 z.real 和 虚部 z.imag。 换句话说:
z == z.real + z.imag*1j
极坐标 提供了另一种复数的表示方法。在极坐标中，一个复数 z 由模量 r 和相位角 phi 来定义。模量 r 是从 z 到坐标原点的距离，而相位角 phi 是以弧度为单位的，逆时针的，从正X轴到连接原点和 z 的线段间夹角的角度。
下面的函数可用于原生直角坐标与极坐标的相互转换。
- cmath.phase(x)¶
将 x 的相位 (或称 x 的 参数) 作为一个浮点数返回。
phase(x)等价于math.atan2(x.imag, x.real)。 结果将位于 [-π, π] 范围内，且此操作的支割线将位于负实轴上。 结果的符号将与x.imag的符号相同，即使x.imag的值为零:>>> phase(complex(-1.0, 0.0)) 3.141592653589793 >>> phase(complex(-1.0, -0.0)) -3.141592653589793
- cmath.polar(x)¶
在极坐标中返回 x 的表达方式。返回一个数对
(r, phi)，r 是 x 的模数，phi 是 x 的相位角。polar(x)相当于(abs(x), phase(x))。
- cmath.rect(r, phi)¶
通过极坐标的 r 和 phi 返回复数 x。相当于
r * (math.cos(phi) + math.sin(phi)*1j)。
幂函数与对数函数¶
- cmath.exp(x)¶
返回 e 的 x 次方，e 是自然对数的底数。
- cmath.log(x[, base])¶
返回 x 的以 base 为底的对数。 如果没有指定 base，则返回 x 的自然对数。 存在一条支割线，即沿着负实轴从 0 到 -∞。
三角函数¶
- cmath.acos(x)¶
返回 x 的反余弦。 存在两条支割线：一条沿着实轴从 1 到 ∞。 另一条沿着实轴从 -1 向左延伸到 -∞。
- cmath.atan(x)¶
返回 x 的反正切。 存在两条支割线：一条沿着虚轴从
1j延伸到∞j。 另一条沿着虚轴从-1j延伸到-∞j。
- cmath.cos(x)¶
返回 x 的余弦。
- cmath.sin(x)¶
返回 x 的正弦。
- cmath.tan(x)¶
返回 x 的正切。
双曲函数¶
- cmath.acosh(x)¶
返回 x 的反双曲余弦。 存在一条支割线，沿着实轴从 1 向左延伸到 -∞。
- cmath.asinh(x)¶
返回 x 的反双曲正弦。 存在两条支割线：一条沿着虚轴从
1j延伸到∞j。 另一条沿着虚轴从-1j延伸到-∞j。
- cmath.atanh(x)¶
返回 x 反双曲正切。 存在两条支割线：一条沿着实轴从
1延伸到∞。 另一条沿着实轴从-1延伸到-∞。
- cmath.cosh(x)¶
返回 x 的双曲余弦值。
- cmath.sinh(x)¶
返回 x 的双曲正弦值。
- cmath.tanh(x)¶
返回 x 的双曲正切值。
分类函数¶
- cmath.isfinite(x)¶
如果 x 的实部和虚部都是有限的，则返回
True，否则返回False。3.2 新版功能.
- cmath.isinf(x)¶
如果 x 的实部或者虚部是无穷大的，则返回
True，否则返回False。
- cmath.isnan(x)¶
如果 x 的实部或者虚部是 NaN，则返回
True，否则返回False。
- cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)¶
若 a 和 b 的值比较接近则返回
True，否则返回False。根据给定的绝对和相对容差确定两个值是否被认为是接近的。
rel_tol 是相对容差 —— 它是 a 和 b 之间允许的最大差值，相对于 a 或 b 的较大绝对值。例如，要设置5％的容差，请传递
rel_tol=0.05。默认容差为1e-09，确保两个值在大约9位十进制数字内相同。 rel_tol 必须大于零。abs_tol 是最小绝对容差 —— 对于接近零的比较很有用。 abs_tol 必须至少为零。
如果没有错误发生，结果将是：
abs(a-b) <= max(rel_tol * max(abs(a), abs(b)), abs_tol)。IEEE 754特殊值
NaN，inf和-inf将根据IEEE规则处理。具体来说，NaN不被认为接近任何其他值，包括NaN。inf和-inf只被认为接近自己。3.5 新版功能.
参见
PEP 485 —— 用于测试近似相等的函数
常量¶
- cmath.pi¶
数学常数 π ，作为一个浮点数。
- cmath.e¶
数学常数 e ，作为一个浮点数。
- cmath.tau¶
数学常数 τ ，作为一个浮点数。
3.6 新版功能.
- cmath.inf¶
浮点正无穷大。相当于
float('inf')。3.6 新版功能.
- cmath.infj¶
具有零实部和正无穷虚部的复数。相当于
complex(0.0, float('inf'))。3.6 新版功能.
- cmath.nan¶
浮点“非数字”（NaN）值。相当于
float('nan')。3.6 新版功能.
- cmath.nanj¶
具有零实部和 NaN 虚部的复数。相当于
complex(0.0, float('nan'))。3.6 新版功能.
请注意，函数的选择与模块 math 中的函数选择相似，但不完全相同。 拥有两个模块的原因是因为有些用户对复数不感兴趣，甚至根本不知道它们是什么。它们宁愿 math.sqrt(-1) 引发异常，也不想返回一个复数。 另请注意，被 cmath 定义的函数始终会返回一个复数，尽管答案可以表示为一个实数（在这种情况下，复数的虚数部分为零）。
关于支割线的注释：它们是沿着给定函数无法连续的曲线。它们是许多复变函数的必要特征。 假设您需要使用复变函数进行计算，您将会了解支割线的概念。 请参阅几乎所有关于复变函数的（不太基本）的书来获得启发。 对于如何正确地基于数值目的来选择支割线的相关信息，一个良好的参考如下：
参见
Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothing's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165--211.